El Teorema de Pitágoras
En esta lección
● Conocerás el Teorema de Pitágoras, que establece la relación entre las
longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo
● Resolverás un rompecabezas de disección que te ayudará a comprender por
qué funciona el Teorema de Pitágoras
● Leerás una prueba de párrafo del Teorema de Pitágoras
● Usarás el Teorema de Pitágoras para resolver problemas
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama la
hipotenusa y los otros lados se llaman catetos (legs). Si a y b son las
longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo, y c es la longitud de la
hipotenusa, entonces el Teorema de Pitágoras establece que a2 b2 c2.
Es decir, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual
al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.
La actividad de la investigación ayudará a convencerte de que el Teorema de
Pitágoras es cierto.

Homotecia

Una homotecia es una trasformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es una amplificación.

Índice (base de datos)

El índice de una base de datos es una estructura de datos que mejora la velocidad de las operaciones, permitiendo un rápido acceso a los registros de una tabla. Al aumentar drásticamente la velocidad de acceso, se suelen usar sobre aquellos campos sobre los cuales se hagan frecuentes búsquedas.

El índice tiene un funcionamiento similar al índice de un libro, guardando parejas de elementos: el elemento que se desea indexar y su posición en la base de datos. Para buscar un elemento que esté indexado, sólo hay que buscar en el índice dicho elemento para, una vez encontrado, devolver el registro que se encuentre en la posición marcada por el índice.

Los índices pueden ser creados usando una o más columnas, proporcionando la base tanto para búsquedas rápidas al azar como de un ordenado acceso a registros eficiente.

Los índices son construidos sobre árboles B, B+, B* o sobre una mezcla de ellos, funciones de cálculo u otros metodos.

El espacio en disco requerido para almacenar el índice es típicamente menor que el espacio de almacenamiento de la tabla (puesto que los índices generalmente contienen solamente los campos clave de acuerdo con los que la tabla será ordenada, y excluyen el resto de los detalles de la tabla), lo que da la posibilidad de almacenar en memoria los índices de tablas que no cabrían en ella. En una base de datos relacional un índice es una copia de parte de una tabla.

Algunas bases de datos amplían la potencia del indexado al permitir que los índices sean creados de funciones o expresiones. Por ejemplo, un índice puede ser creado sobre la función upper(apellido), que almacenaría en el índice solamente las versiones mayúsculas del campo apellido. Otra opción a veces soportada, es el uso de índices "filtrados", donde las entradas del índice son creadas solamente para los registros que satisfagan una cierta expresión condicional. Un aspecto adicional de flexibilidad es permitir la indexación en funciones definidas por el usuario, también como expresiones formadas de un surtido de funciones incorporadas. Todos estos refinamientos de la indexación son soportados en Visual FoxPro, por ejemplo.^[1]

Los índices pueden ser definidos como únicos o no únicos. Un índice único actúa como una restricción en la tabla previniendo filas idénticas en el índice.

semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas. Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeño y lado pequeño)

b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.

El concepto de semejanza en la vida cotidiana

Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo? Será acaso:

• Un objeto que se parece a otro

• Objetos de igual tamaño

• Objetos de igual forma

• Objetos exactamente iguales

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

1. El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.

2. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.

3. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.

4. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.

5. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

TRIÁNGULOS

Criterios de semejanza

---

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:

Criterios de Semejanza de Triángulos

I. Primer criterio

Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.

A partir de este triángulo puedes obtener triángulos semejantes al original arrastrando el punto C o jugando con los valores de la escala. Observa que la medida de los ángulos, a pesar de todo, permanece constante.

TRIÁNGULOS

Criterios de semejanza

---

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios de semejanza de triángulos

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:

Criterios de Semejanza de Triángulos

I. Primer criterio

Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.

A partir de este triángulo puedes obtener triángulos semejantes al original arrastrando el punto C o jugando con los valores de la escala. Observa que la medida de los ángulos, a pesar de todo, permanece constante.

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X² - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 − x

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

x² + (7 − x)² = 25

3º Se resuelve la ecuación resultante.

x² + 49 − 14x + x² = 25

2x² − 14x + 24 = 0

x² − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3

Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes.

Criterios de congruencia de triángulos [editar]

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas.

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

• Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

• Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

1.1. Efectuar o simplificar
cálculos con expresiones
algebraicas tales como:
(x + a)2; (x + a) (x + b);
(x + a) (x – a). Factorizar
expresiones algebraicas
tales como: x2 + 2ax + a2;
ax2 + bx; x2 + bx + c; x2 – a2.

El Álgebra es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo mas general posible.

TEMA 1

1.VALOR ABSOLUTO.

El valor absoluto de una cantidad es el numero que representa la cantidad sin importar el signo o sentido de la cantidad. Por ejemplo el valor absoluto de un numero positivo es el mismo que el numero original; el valor absoluto de un número negativo, es el valor del numero pero sin el signo.

Ejemplo.

16 = 16; -16 = 16; 8 = 8 ; -8 = 8

1.1 LEY DE LOS SIGNOS

Suma y resta de números con un mismo y con diferente signo.

Cuando dos números positivos se suman el resultado es positivo.

Cuando dos números negativos se suman el resultado es negativo.

Cuando se suma un numero positivo y un numero negativo se toma el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo:

3+4 = 5 -3+(-5) = -8 -6 + 20 = 14

5+7= 12 -9+(-3) = -6 5 + (-20) = -15

Multiplicación y División de números con un mismo y con diferente signo.

Cuando se multiplican o dividen dos números con el mismo signo, el resultado es positivo.

Cuando se multiplican o dividen dos números con diferente signo , el resultado es negativo.

Ejemplo:

6.5 = 30 5. (-7)= -35

12 : 6 = 2 -3. 5 = 15

(-3) . (-5) = 15 20 (-10) = -2

(-25) (-5) = 5 -36 (6) = -6

1.2 LEYES DE LOS EXPONENTES.

Al revisar una potencia veremos que:

X° = 1

Como cualquier numero diferente de cero o una variable elevada a la potencia cero es indefinido.

Al haber un numero son una variable o sin exponente se supone que esta elevado a la cero potencia. Por ejemplo.

7°= 7 y¹ = y

El exponente cero

Este proviene de dividir potencias iguales de la misma base.

1. a2 : a2 = a2-2 = a°. 2.- y7 : y7 = y7-7 = y°.

En general existen 10 leyes de los exponentes:

Al hacer una multiplicación los exponentes se suman.

1.-xa (x b ) = x a+b

por ejemplo:

a) x3 (x 4) = x3+4 = x4 = x3

X3 (x4 ) = (x.x.x) (x.x.x.x) = x7

Al hacer una división los exponentes se restan.

2.-x / x = x

por ejemplo:

b)x / x = x = x = x

2.1 x = x.x.x.x.x.x = (x.x.x.x) = x

x x.x

Al elevar a una potencia, los exponentes se multiplican.

3.- (x ) = x

Por ejemplo:

c).- ( x ) = x = x = x

3.1 ( x ) = (x.x.x.x) (x.x.x.x) = x

4.-(xy) = x (y )

por ejemplo:

d).- (xy) = x y = xy

4.1.- (xy) =(xy) (xy) (xy) = (x.x.x) (y.y.y) = x y

5.-(x/y) = x / y

por ejemplo:

e).- (x/y) = x / y = x / y o x/y

x = (x) (x) (x) (x) = x

y (y) (y) (y) (y) y

6.- 1/x = x

por ejemplo:

f).- x / x = x = x = 1/x = x

6.1 x = (x.x) = 1

x (x.x.x) x

7.- x = x

7.1 x = (x.x) = 1

x (x.x.x) x

8.- En esta regla , como dice la regla uno los exponentes de base común se suman en la multiplicación, el exponente de x cuando se suman a si mismo, debe de ser igual a uno. Ya que ½ + ½ = 1, y el exponente de x es ½.

Así que, x . x = x . x = = x¹ = 1

8.- x = x

por ejemplo:

h) x = x

8.1.- x . x . x = x, entonces x . x .x = x = x¹ = x

9.- x = x = (x )

por ejemplo

i) x = (x ) o (x )

o también:

4 = (4 ) = ( 4) = (+ 2) = + 8

4 =(4 ) = (64) = 64 = + 8

10.- 1/x = x

j) x = 1/x = 1/(x ) o 1/(x )

o también:

10.1 27 = 1 = 1 = 1

(27 ) (729) 9

27 = 1 = 1 = 1

(27 ) (3) 9

POTENCIACIÓN

La potencia de una expresión algebraica es la misma expresión o el resultado de tomarla como factor dos o más veces.

Así:

La primera potencia de una expresión es la misma expresión:

Ejemplo:

(2a)¹ = 2a

La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces.

Por ejemplo:

(2a)2 = 2a x 2a = 4a2

El cubo de una fracción es el resultado de tomarla como factor tres veces.

Por ejemplo:

(2a)3 = 2a x 2a x 2a = 8a3

así: (2a)n = 2a x 2a x 2a .........n veces.

El signo de las potencias.

Al elevar una potencia de una cantidad positiva evidentemente es positiva., ya que este equivale a un producto en que todos los factores son positivos.

En el caso de las potencias de cantidades negativas:

1.-Toda cantidad par de una cantidad negativa es positiva.

2.- Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

Se puede decir lo siguiente:

(-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2

(-2a)3 = (-2a) x (-2a) x (-2a) = -8a3

(-2a)4= (-2a) x (-2a) x (-2a) x (-2a) = 164a4.

Potencias en polinomios

Para elevar un monomio a una potencia se eleva su coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia.

Si el monomio es negativo, el signo de la potencia es + cuando el exponente es par, y es - cuando es exponte es impar-

Por ejemplo:

a).-(3ab2)3

(3ab2)3 = 33 .a1x3.b2x3 = 27 a3b6.

b).-(-3a2b3)2

(-3a2b3)2= 32.a2x2.b3x2= 9a4b6

Cuando el monomio es una fracción, para elevarlo a una potencia cualquiera, se eleva su numerador y su denominador a esa potencia.

Así:

-2x 4 = (2x)4 = 16x4

3y2 (3y2)4 81y8

Cubo de un binomio

Se sabe que:

(a+b)3 = a3 + 3a2 + 3ab2 + b2.

(a-b)3 = a3 - 3a2 + 3ab2 - b2.

Al llevar a efecto (4a3 +5a2b2)3.= (4a3)3 +(4a3)2 (5a2b2) + 3 (4a3) (5a2b2)2 + (5a2b2)3

= 64a9 + 240a8b2 + 300 a7 b4 +125a6b6

El triangulo de pascal.

Los coeficientes de los terminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio los da en seguida el triangulo de pascal.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los números que se hallan en la fila horizontal en que después del 1 esta el exponente del binomio.

Así, los coeficientes del desarrollo de (x + y)4 son los números que están en la fila horizontal en que después del 1 está el 4, ósea 1,4,6,4,1.

Los coeficientes del desarrollo de (m + n)5 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 5, ósea 1, 5,10, 10, 5, 1.

Los coeficientes del desarrollo de (2x-3y)7 son los números de la fila horizontal en que después del 1 está el 7, o sea 1,7,21, 35, 35, 21, 7, 1.

En la practica, basta formar el triangulo hasta la fila horizontal en que después del 1 viene el exponente de binomio. Los números de esta ultima fila son los coeficientes que se necesitan.

MINIMO COMUN MULTIPLO.

COMUN MÚLTIPLO. De dos o màs expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

Asì, 8ab es comùn múltiplo de 2ª y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2ª y por 4ab ; 3x-9x+6 es comùn múltiplo de x-2 y de x-3x+2 porque 3x-9x+6 es divisible exactamente por x-2 por x-3x+2.

MINIMO COMUN MÚLTIPLO. De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas .

Asì , el m.c.m. es de 4ª y 6ª es 12ª ; el m.c.m.de 2x , 6x y 9x es 18x. La teoría del m.c.m. es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.

M.C.M DE MONOMIOS.

REGLA:

Se halla el m.c.m de los coeficientes y a continuación de èste se escriben todas las letras distintas, sean o no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tenga en las expresiones dadas.

Hallar el m.c.m. de ax y ax.

Tomamos a con sumayor exponente x y con su mayor exponente x y tendremos :m.c.m.=ax.

(2) Hallar el m.c.m. de 8abc y 12ab 8abc=2abc

12ab=2.3ab

el m.c.m.de los coeficientes es 2.3. A continuación escribimos a con su mayor exponente b y c, luego:

m.c.m.=2. 3abc.

M.C.M.DE MONOMIOS Y POLINOMIOS.

REGLA:

Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos .el m.c.m.es el producto de los factores primos ,comunes y no comunes, con su mayor exponente.

(1) Hallar el m.c.m. de 6 , 3x -3.

descomponiendo 6=2.3

3x-3=3(x-1)

m.c.m.=2.3(x-1)=6(x-1)

(2) Hallar el m.c.m. de 14a , 7x-21

descomponiendo 14a=2.7a

7x-21=7(x-3)

el m.c.m.=2.7.a (x-3)=14a(x-39)

(3) Hallar el m.c.m. de 15x ,10x + 5x , 54x

como 15x està contenido en 45x , prescindimos de 15x

descomponiendo :10x + 5x=5x(2x+1)

45x=3 .5 .x

m.c.m.=3 . 5.x (2x+1)=45x (2x+1)

M.C.M. DE POLINOMIOS.

La regla es la misma del caso anterior.

(1) Hallar el m.c.m. de 4ax - 8axy+ 4ay , 6bx-6by

descomponiendo:

4ax - 8axy+4ay =4a (x-2xy+y )=2 .a(x-y)

6bx-6by=6b(x-y) =2.3b (x-y)

elm.c.m.=2 .3.ab (x-y) =12ab (x-y)2

2) Hallar el m.c.m. de x3+2bx2,x3y + x2y2 + 4by2 + 4b2y2

x3 +2bx2=x2(x+2b)

x3y-4b2xy=xy(x2-4b2) = xy(x+2b) (x-2b)

x2y2+4bxy2+4b2y2=y2(x2+4bx+4b2)=y2(x+2b)2

el m.c.m.= x2y2(x+2b)2(x-2b)

MAXIMO COMUN DIVISOR

FACTOR COMUN O DIVISOR COMUN. De dos o mas expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que està contenida exactamente en cada una de las primeras.

Asi , x es divisor comùn de 2x y x2; 5ab es divisor comun de 10ª3 b2 y 15ª4b.

Una expresión algebraica es prima cuando sòlo es dividible por ella misma y por la unidad. Asì ,a , b ,a+b y 2x-1 son expresiones primas.

Dos o mas expresiones algebraicas son primas entre si cuando el ùnico divisor comun que tienen es la unidad ,como 2x y 3b; a+b y a-x

MÁXIMO COMUN DIVISOR de dos o mas expresiones algebraicas es grado que esta contenida exactamente en cada una de ellas .

Asi , el m.c.d. de10a2b y 20a 3 es 10a 2; el m.c.d. de 8a 3n2, 24an3 y 40a 3n4p es 8an2

M.C.D. DE POLINOMIOS.

REGLA.

Se halla el m.c.d.de los coeficientes y a continuación de èste se escriben las letras comunes, dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.

(1) Hallar el m.c.d. de a2x2 y x a3 bx

el m.c.d. de los coeficientes es 1. las letras comunes son a y x tomamos a con su menor exponente : a2 y x con su menor exponente x; la b no se toma porque no es comun . el m.c.d. sera a2x. R.

(2) Hallar el m.c.d. de 36a 2b4, 48a 3b3c y 60a 4b3m

descomponiendo en factores primos los coeficientes ,tenemos . 36a 2b4=22.32.a2b4

48a3 b3c=24.3.a3b3c

60a4b3m=22.3.5.a4b3m

el m.c.d. de los coeficientes es 22 .3. las letras comunes son a y b . tomamos a con su menor exponente : a2 y b con su menor exponente : b3; c y m no se toman porque no son comunes. Tendremos: m.c.d. = 22.3.a2b3= 12a2b3 R.

M.C.D DE POLINOMIOS

Al hallar el m.c.d. de dos o mas polinomios puede ocurrir que los polinomios puedan factorarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el primer caso se halla el m.c.d. factorando los polinomios dados ; en el segundo caso se halla el m.c.d. por divisiones sucesivas.

m.c.d. de polinomios por descomposicion en factores .

REGLA.

Se descomponen los polinomios dados en susfactores primos . el m.c.d. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.

(1) Hallar el m.c.d. de 4a2+ 4ab y 2a4-2a2b2

factorando estas expresiones : 4a2+4ab =4a (a+b)=22a (a+b)

2a2-2a2b2=2a2(a+b)(a-b)

los factores comunes son 2, a y (a+b),luego m.c.d.=2 a(a+b) R.

(2) Hallar el m.c.d. de x2-a, x2-x-6 y x2+4x+4

factorando x2-4=(x+2) (x-2)

x2-x-6=(x-3) (x+2)

x2+4x+4=(x+2)

el factor comun es (x+2) y se toma con su menor exponente, luego m.c.d.= x+2. R.

OPERACIONES CON FRACCIONES .

SUMA.

REGLA PARA SUMAR FRACCIONES.

1.- Se simplifican las fracciones dadas si es posible .

2.-se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si son distintos denominador

3.-se efectúan las multiplicaciones indicadas

4.-se suman los denominadores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador comun

5.-se reducen términos semejantes en el numerador

6.-se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADOR MONOMIO.

(1) SUMAR 3/2ª y a-2/6a2

Hay que reducir las fracciones al mínimo común denominador

El m.c.m de los denominadores es 6a2 dividiendo 6a2 entre los denominadores, tenemos: 6a2/6a2=1 estos cocientes los multiplicamos por los numeradores respectivos y tendremos:

3/2a+a-2/6a2= 3(3a)/6a2+ a-2/6a2= 9a/6a2+a-2/6a2

(sumando los numeradores)= 9a+a-2/6a2= 10ª-2/6a2

simplificando = 2(5ª-1)/6ª2 = 5ª-1/3a2 R.

RESTA.

REGLA GENERAL PARA RESTAR FRACCIONES

(1).- Se simplifica las fracciones dadas si es posible

(2).-Se reducen las fracciones dadas al minimo comun denominador si tienen distintos denominador.

(3)Se efectùan las multiplicaciones indicadas

(4)Se restan los numeradores y la diferencia se parte por el denominador comun

(5).-Se reducen términos semejantes en el numerador

(6).-Se simplifica el resultado si es posible.

RESTA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES MONOMIO.

de a+2b / restar 4ab2-3 / 6a2b

el m.c.m. de los denominadores es 6a2b. Dividiendo 6a2b entre cada denominador y multiplicando cada cociente por el numerador respectivo, tenemos.

A+2b/3a- 4ab2-3/6a2b = 2ab(a+2b)/6a2b-4a2b-3/6a2b

(multiplicando) = 2a2b+4ab2/6a2b -4ab2-3/6a2b

(restando los numeradores) = 2a2b+4ab2-(4ab2-3)/ 6a2b

(quitando paréntesis) = 2a2b+4ab2+3/ 6a2b

(reduciendo) = 2a2b+3/6a2b R.

(2) restar x+2/x2 de x-1/3x

el m.c.m. de los denominadores es 3x2, que sera el denominador comun

tendremos: x-1/3x - x+2/x2 =x(x-1)/3x2 - 3(x+2)/3x2

(multiplicando) = x2-x/3x2 - 3x+6/3x2

(restando los numeradores) =x2-x - (3x+6)/ 3x2

(quitando el paréntesis) = x2-x- 3x-6/3x2

(reduciendo) = x2-4x-6/3x2 R.

SIMPLIFICACION DE FRACCIONES.

Simplificar una fracción algebraica .- es convertirla en una fracción equivalente cuyos termonos sean primos entre si .

Cuando los terminos de una fraccìòn son primos entre si,la fracciòn es irreducible y entonces la fracción èsta reducida a su mas simple expresión o a su mìnima expresión.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN MONOMIOS.

REGLA.

Se divide el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta que sean primos entre si.

=

(1) simplificar 4a2b5/6a3b3m

tendremos 4a2/6a3b3=2.1.b2/3.a.1=2b2/3am

Hemos dividido 4 y 6 entre 2 y obtuvimos 2 y 3; a2 y a3 entre a2 y obtuvimos los cocientes 1 y a ;b5 y b3 entre b3 y obtuvimos los cocientes b2 y 1. como 2b2 y 3am no tienen ningún factor común, esta resulta irreducible

(2) simplificar 9x3y3/36x5y6

9x3y3/36x5y6= 1.1.1/4.x2.y3 = 1/4x2y8.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CUYOS TERMINOS SEAN POLINOMIOS.

Regla

Se descomponen en factores los polinomios todo lo posible y se suprimen los factores comunes al numerador y denominador.

(1) simplificar 2ª2 .

4ª2 -4ab

2ª2 . = 2a2 = a .

4ª2 -4ab 4ª(a-b) 2(a-b)

Hemos dividido 2 y 4 entre 2 y a2 y a entre a.

(2) simplificar 4x2y3 .

24x3 y3 - 36x3y4

4x2y3 . = 4x2 y3 = 1 .

24x3 y3 - 36x3y4 12x3y3(2-3y) 3x(2-3y)

productos notables

Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se presentan con tanta frecuencia que es posible efectuarlas de manera mecánica.

Primer producto notable.

Producto de binomios que tienen un termino idéntico (o común), es decir, expresiones como (x + a) (x + b).

Usamos la literal x en ambos binomios para indicar que se trata de un termino común o idéntico.

Obtengamos el producto de (x + a) (x +b) efectuando la operación como se explico en la multiplicación de polinomios.

x + a

x + b

_______________________

x2 + ax

+ bx + ab

_______________________

x2 + ax + bx + ab

Observamos que ax y bx son términos semejantes que se pueden reducir a un solo termino, como de indica.

ax +bx = (a +b)x

De manera que tenemos : (x +a)(x +b) = x2 + (a +b)x + ab

Segundo producto notable.

Producto de dos binomios iguales (x +a)(x +a), conocido como el cuadrado de un binomio : (x +a)2

Obtengamos el producto x + a

x + a_________

x2 + ax

+ ax + a2____

x2 + ax + ax + a2

Como : ax + ax = (a + a)x = 2ax

Tenemos : (x + a)(x + a)= (x + a)2 = x2 +2ax + a2

Tercer producto notable.

Producto de binomio del tipo (ax + b)(cx + d)cuando a, b, c y d son números enteros.

Obtengamos el producto : ax + b

cx + d .

acx2 + bcx

+ adx + bd .

acx2 + adx + bcx + bd

Como : adx + bcx = (ad + bc)x

Tenemos : (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Cuarto producto notable.

Producto de binomio del tipo (x + a)(x - a), que se conocen como binomios conjugados.

Obtengamos el producto: x + a

x - a

______________________

x2 + ax

- ax - a2

______________________

x2 + 0x - a2

Tenemos que : (x + a)(x - a) = x2 - a2

Quinto producto notable.

Producto de tres binomios iguales del tipo (x + a), conocido como cubo de un binomio o (x + a)3

En el segundo producto notable obtuvimos: (x + a)(x + a)=x2 + 2ax + a2

De manera que para obtener el producto de (x + a)(x + a)(x + a), efectuamos la siguiente operación:

X2 + 2ax + a2

x + a

__________________

x3 + 2ax2 + a2x

ax2 + 2a2x + a3

________________________

x3 + 3ax2 + 3a3x + a3

entonces : (x + a)(x + a)(x + a)= (x + a)3= x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

Sexto producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x + y)(x2 -xy + y2)

Obtengamos el producto : x2 - xy + y2

x + y

___________________

x3 - x2y + xy2

x2y - xy2 + y3

________________________

x3 + y3

es decir : (x + y)(x2 - xy + y2)= x3 + y3

Séptimo producto notable.

Multiplicación de expresiones del tipo (x - y)(x2 + xy + y2)

Obtengamos el producto : x2 + xy + y2

x - y

__________________

x3 + x2y + xy2

- x2y - xy2 - y3

___________________________

x3 - y3

Entoces: (x - y)(x2 + xy + y2)= x3 - y3

FACTORIZACIÓN

Factorización de expresiones que tienen factor común.

Observa la siguiente expresión : am + bm + cm

Nota: que m es factor en cada uno de los términos; recordando la propiedad distributiva, podemos escribirla así;

am + dm + cm = m (a + b + c)

Factorización de trinomios cuadrados perfectos .

Un trinomio cuadrado perfecto es le resultado que se obtiene al elevar un binomio al cuadrado; es de esperarse entonces que su factorización sea este binomio.

Trinomio Factorización

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

si la expresión cuadrática por factorizar se identifica como un trinomio cuadrado prefecto, la factorización es siempre un binomio elevado al cuadrado.

Factorización de expreciones cuadráticas del tipo x2 + (a + b)x + ab, cuando a y b son enteros.

En el tema de productos notables , obtuvimos:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab, que puede escribirse

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ………………(A)

Analizando (A) observamos que la expresión cuadrática es igual al producto de dos factores, que son dos binomios lineales con un termino común: (x + a) y (x + b).

Factorización de expresiones cuadráticas del tipo

acx2 + (ad + bc)x + bd cuando a,b,c y d son enteros y ac = 1.

Cuando estudiamos productos notables obtuvimos que:

(ax + b)(cx +d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

o bien acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx +d)

RADICACIÓN

Raíz de una expresión algebraica es toda expresión algebraica que elevada a una potencia reproduce la expresión dada.

Así 2a es raíz cuadrada de 4a2 porque ( 2a )2 = 4a2 y -2a también es raíz cuadrada de 4a2 porque (-2a)2 = 4a2.

3x es raíz cúbica de 27x3 porque (3x)3= 27x3.

El signo de raíz es , llamado signo radical. De baja de este signo se coloca la cantidad a la cual se extrae la raíz llamada por eso cantidad subradical.

El signo lleva un índice que indica la potencia a que hay que elevar la raíz para que reproduzca la cantidad subradical. Por convención el índice 2 se suprime y cuando el signo no lleva índice se entiende que el índice es 2.

Así, a4 significa una cantidad que elevada al cuadrado reproduce la cantidad subradical a4; esta raíz es a2 y -a2 porque (a2)2= a4 y (-a2)2= a4.

3 8x3 significa una cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad subradical 8x3; esta raíz es 2x porque (2x)3= 8x3.

EXPRESION RADICAL O RADICAL. Es toda raíz indicada de un numero o de una expresión algebraica. Así 4 , 3 9a3 , 4 16a3 , son expresiones radicales.

Si la raíz indicada es exacta, la expresión es racional; si no es exacta es irracional.

Las expresiones irracionales como 2 , 3 3a2 son las que comúnmente se llaman radicales.

El grado de un radical lo indica su índice. Así, 2ª es un radical de segundo grado; 3 5a2 es un radical de tercer grado; 4 3x es un radical de cuarto grado.

SIGNOS DE LAS RAICES.

1) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la cantidad subradical.

Así, 3 27a3 = 3a porque (3a)3= 27a3

3 27a3 = -3a porque (-3a)3= -27a3

5 x10 = x2 porque (x2)5 = x10

5 -x10 = -x2 porque (-x2)5 = -x10.

2) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble signo : + y -

Así, 25x2 = 5x o -5x por que (5x)2= 25x2 y (-5x)2= 25x2.

Esto se indica de este modo : 25x2 = + - 5x.

Del propio modo, 4 16a4 = 2a y -2a porque (2a)4= 16a4 y (-2a)4 = 16a4 .

Esto se indica : 4 16a4 = + - 2a.

CANTIDAD IMAGINARIA.

Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer, porque toda cantidad, ya sea positiva o negativa, elevada a una potencia par, da un resultado positivo. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.

Así, -4 no se puede extraer. La raíz cuadrada de -4 no es 2 porque 22=4 y no -4, y tampoco es -2porque (-2)2=4 y no -4. -4 es una cantidad imaginaria

Del propio modo, -9 -a2 4 -16x2 son cantidades imaginarias

CANTIDAD REAL. Es una expresión que no contiene ninguna cantidad imaginaria. Así, 3a, 8, 5 son cantidades reales.

VALOR ALGEBRAICO Y ARITMETICO DE UN RADICAL.

En general, una cantidad tiene tantas raíces de un grado dado como unidades tiene el grado de raíz. Así, toda cantidad tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc., pero generalmente una más raíces de éstas son imaginarias. Más adelante hallaremos las tres raíces cúbicas de la unidad, dos de las cuales son imaginarias.

El valor real y positivo de un radical, si existe, o el valor real negativo si no existe el positivo, es lo que se llama valor aritmético del radical. Así,

9 = + - 3; el valor aritmético de 9 es + 3

4 16 = + - 2 ; el valor aritmético de 4 16 es + 2

al tratar de radicales, siempre nos referimos a su valor aritmético.

RAIZ DE UNA POTENCIA

Para extraer una raíz a una potencia se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Decimos que n a m = a m/n.

En efecto : (a m/n)n = a (m/n) n = am, cantidad subradical

ejemplo.

a4 = a 4/2 = a2

Si el exponente de la potencia no es divisible por el índice de la raíz, se deja indicada la división, originándose de este modo el exponente fraccionario.

Ejemplo.

a =a ½

RACIONALIZACIÒN.

Al proceso de eliminar radicales del denominador de una expresión se le denomina “racionalizar el denominador”.

Si el denominador es un radical que no tiene raíz perfecta, deberá convertirse utilizando lo expresado en Pág. Anteriores. “un radical tiene raíz perfecta cuando la cantidad subradical es expresada en factores que están elevados en un exponente múltiplo de la raíz.

Es obvio que nos referimos a expresiones fraccionarias en las cuales el denominador es una expresión radical y cuyo numerador puede no serlo.

Racionalizar el denominador de la expresión 3 5

2 3

solución: el radical denominador tendrá raíz perfecta si el exponente de la cantidad subradical es 2; esto se logra multiplicando por 3 , ya que 3 * 3 = 3 = 3

recuerda que si multiplicamos por 3 el denominador, el numerador debe ser multiplicado por la misma cantidad para que no se altere la expresión.

Procedimiento: 3 5 . 3 = 3 5 3 = 3 15 = 1 15

2 3 3 2 3 6 2

ejemplo: racionalizar el denominador de al expresión 5

16

solución: como 16 = 2, sustituyendo tenemos: 5 = 5

16 2

el radical denominador tendrá raíz perfecta si la cantidad subradical tiene como exponente un múltiplo de 3 ( que es el índice de la raíz),; esto se logra multiplicando numerador y denominador por 2 , ya que 2 . 2 = 2

procedimiento: 5 . 2 = 5 2 = 5 2 = 5 2

2 2 2 2 8

observa que 2 no esta simplificado, de manera que:

5 = 5 2 . 2 = 5 . 2 2 = 5 4

16 8 8 4

ahora demuestra que se obtiene el mismo resultado y de manera mas facil si el numerador y el denominador se multiplican por 2 , ya que 2 . 2 = 2 ; es decir, la operación se simplifica si se busca el múltiplo más próximo al índice de la raíz.

Ejemplo: racionalizar el denominador de la expresión 7

2 - 3

en este caso procedemos de manera diferente a la utilizada en los ejemplos anteriores. Observa que el denominador es al diferencia de dos radicales; si multiplicamos por su conjugado, que es ( 2 + 3 ), tenemos.

( 2- 3)( 2 + 3 ) = ( 2 ) - ( 3) = 2-3 = -1

y por lo tanto se ha eliminado el denominador radical.

Procedimiento; 7 . 2 + 3 = 7 ( 2 + 3 ) = 14 + 21 = - 14 - 21

2 - 3 2 + 3 -1 -1

RELACIONES

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE FUNCIONES Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS

El concepto de función implica la asociación entre los elementos de dos conjuntos, que por lo general son números, y cuya correspondencia es establece mediante una regla de asociación.

Las reglas de asociación entre los elementos de los conjuntos, por lo general, no son fáciles de obtener, ya sea que se use el lenguaje común o el lenguaje matemático.

Algunos sucesos que ocurren en tu entorno son ejemplos sencillos de funciones:

• Cuando viajas en autobús o en automóvil, en un tiempo determinado recorres distancias que dependen de la velocidad con que se desplaza el vehículo. La distancia recorrida está en función de la velocidad y, como sabes por cursos anteriores de física, regla de asociación es = velocidad por tiempo.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Si cada elemento de cualquier conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y a través de una regla de asociación o correspondencia, esto define una función F de X en Y.

• Al conjunto X se le conoce como el dominio de la función F.

• Al elemento Y que corresponde a determinado elemento X el dominio se le conoce como la imagen de X bajo F y se le denota como F(X).

• El conjunto de imágenes F(X) constituyen el conjunto Y, al que se le conoce como el rango de la función F.

De la función conviene destacar lo siguiente:

• Cada elemento del dominio se asocia con exactamente un elemento del rango, en otras palabras, un elemento del dominio se asocia con uno y sólo un elemento del rango.

• Las imágenes Y o F(X), que corresponden a los elementos X del dominio, se determina mediante la regla de la asociación o correspondencia.

En una función, de dos o más elementos del dominio pueden asociarse con el mismo elemento del rango, cumpliéndose lo mencionado en la definición sobre que a un elemento del dominio sólo le corresponde un único elemento del rango. Sin embargo, el mismo elemento del dominio no puede asociarse con dos elementos diferentes del rango.

NOTA: Cuando la regla de la función no se cumple se da relación.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN.- Una ecuación es una proposición de igualdad que involucra una o más literales que representan valores no conocidos. Si la proposición sólo involucra números, la ecuación es numérica; si en cambio involucra expresiones algebraicas, se denomina ecuación algebraica.

Ejemplos de ecuaciones numéricas:

1+2+5=8 2+3=5 5-2=3

Son ejemplos de ecuaciones algebraicas:

5x+3=0

8x-3y=2

2ª + 5b = 3c-4

LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO O LINEAL CON UNA SOLA INCÓGNITA.

Una ecuación lineal con una variable es una proposición de la forma

ax + b =0 con a = 0

Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.

Para encontrar la solución de la ecuación lineal con una incógnita, procedemos de la siguiente manera .

Si existen varios términos que contienen a la incógnita, éstos deben situarse en el mismo lado del signo igual, comúnmente del lado izquierdo. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno sólo.

Si existen varios términos que no contienen a la incógnita, éstos deben situarse al otro lado del signo igual. Si éste es el caso, se reducen los términos a uno solo.

Si el coeficiente de la incógnita no es la unidad, se debe transformar en este valor .

En algunas ocasiones se tendrán que efectuar operaciones, adicionales como por ejemplo, eliminar signos de agrupamiento.

Las propiedades de las ecuaciones nos permiten despejar la incógnita y por lo tanto determinar su valor.

A continuación resolveremos un ejemplo señalando las propiedades de las igualdades utilizadas.

Ejemplo: encontrar la solución lineal 7x+8 = 2x-7

Situar los términos en x del lado izquierdo de la igualdad.

Identificamos la ecuación de la siguiente manera:

7x+8 = 2x-7

A = B

La propiedad aditiva 1) de la igualdad establece que si A = B, entonces A + C = B + C

Considerando que C es inverso aditivo del término (2x) y aplicando la propiedad tenemos:

7x + 8 + (-2x ) = 2x - 7 + (- 2x)

A + C = B + C

Agrupando y simplificando:

7x + 2x + 8 = 2x - 2x - 7

7x - 2x + 8 = - 7

Observa que los términos que contienen a x están ahora en el lado izquierdo; simplificando.

5x + 8 = - 7

Situar en el lado derecho del signo igual, los términos que no contienen a x, usando nuevamente la propiedad aditiva y considerando como C al inverso aditivo del término 8 que es -8, tenemos:

5x + 8 + (-8) = -7 + (-8)

simplificando:

5x = -7 - 8

El coeficiente de x debe ser la unidad. Identifiquemos la ecuación de la siguiente manera :

5x = - 15

A = B

La propiedad multiplicativa de la igualdad establece que si A = B, entonces A . C = B . C

Considerando que C es el inverso multiplicativo del coeficiente de la incógnita (5) que resulta ser (1/5), aseguramos que dicho coeficiente se transforma en la unidad.

• 1 x = ( -15) 1

5 5

x = -15

5

de donde x = - 3

LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON 2 INCOGNITAS.

La ecuación de primer grado o lineal con dos incógnitas se expresa como:

Ax + By + C = 0

Donde A,B,C = R A = 0 Y B = 0

Al proponer una igualdad involucra a dos variables o incógnitas, representadas

por x y y, aun cuando puede usarse cualquier par de letras del alfabeto.

Estas ecuaciones se pueden ver desde los sig. Punto

1.- conocida la ecuación, determinaremos su solución.

2.-Se construira la ecuación apartir de enunciados que conduzacna a ello.

3.-Solución de ecuaciones lineales con dos variables.

Es evidente que la solución de estas ecuaciones es uan pareja de valores x y y que satisfacen la igualdad.

En la siguiente ecuación es fácil determinar los valores de x y y que la satisfacen: X + y =2

La solución seria: x =1.5 y y = 0.5 también es una solución. Procediendo de esta manera podemos determinar un numero infinito de soluciones.

El procedimiento para encontrar todas las parejas de valores de x y y que constituyen el conjunto solución consiste en:

Despejar cualquiera de las variables.

Asignarle valores a la otra variable.

Determinar el valor que le corresponde a la variable que se despejo.

Ejemplo: Dada la ecuación 5x + y - 3= 0, encontrar al menos tres soluciones:

se eligio despejar la variable y

y = -5x + 3

se le asigno los siguientes valores a x

x = 2, x= o y x= 3

( Los valores asignados a x son arbitrarios; es decir, no dependen ni estan condicionados; por esta razón se le conoce como la variable independiente.

se determino los valores de y que corresponden a los valores asignados a x.)

Si x= -2 y = -5(-2) + 3 y = 13

Si x = 0 y = -5(0) +3 y = 3

Si x= 3 y = - 5(3) + 3 y = -12

Soluciones:

X = -2 x = 0 x = 3

Y = 13 y = 3 y = -12

( Los valores y dependen de los valores asignados a x; por esta razón se le conoce cono variable dependiente.

Comprobación:

Sustituyendo la ecuación 5x + y -3 = 0 los valores de x y y, esta se debe satisfacer.

Para x = 3 y y = -12 para x = -2 y y= 13 para x = 0 y y = 3

5(3) - 12 -3 = 0 5(-2) + 13 -3 = 0 5 (0) + 3 - 3 = 0

15 - 15 = 0 -10 + 13 - 3 = 0 0 = 0

0 = 0 0 = 0

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